Brabec, neměl podle rodiny, rád oficiality a nepřál si ani pohřeb. Pod jeho fotografiemi je umístěn citát  Williama Shakespeara „ … láska, ta nepomíjí jak pomíjivý běh času, ta všechno přetrvá a jde až do hrobu"

Absolvoval DAMU 

Brabec byl s Národním divadlem spjatý 35 let. Velkou popularitu mu ovšem přinesla role majora Zemana v normalizačním seriálu, který má dodnes svůj fanclub. Někteří z fanoušků seriálu se přišlo s hercem rozloučit.  "Díky, majore!", zněl jeden ze zápisů v kondolenční knize. Brabec se věnoval i dabingu. Daboval např. Marcella Mastroianiho, Seana Conneryho, Jacka Lemmona, Gregoryho Pecka, Marlona Branda či Anthonyho Hopkinse.

Hereckou dráhu začínal jako devatenáctiletý v divadle pro mládež (dnes divadlo Akropolis). V roce 1953 absolvoval DAMU u Miloše Nedbala, Otomara Krejči a Radovana Lukavského. Působil v Mostě a od roku 1959 byl členem Národního divadla. Úspěšný byl také v muzikálech v hudebním divadle Karlín.