Rodák z Košic se během své kariéry zařadil mezi sparťanské legendy. Hodně fanoušků chodilo v šedesátých letech na Letnou hlavně kvůli němu, protože byl nejen skvělým dirigentem hry a brilantním technikem, ale i velkým bavičem. Když na stará kolena odešel hrát do Belgie, vykazoval sparťanský pokladník rázem mnohem nižší návštěvy.

V reprezentaci Kvašňák sehrál 47 zápasů a vstřelil třináct branek, včetně památné penalty v Marseille v zápase s Maďarskem o postup na mistrovství světa v Mexiku. Kvašňák byl už členem stříbrné jedenáctky na světovém šampionátu v Chile v roce 1962 a v Mexiku se o osm let později s reprezentačním dresem rozloučil.

Na Letné patřil až donedávna k nepřehlédnutelným postavám, i když se nikdy nestal úspěšným trenérem ani funkcionářem. Sparťané na něj nezapomněli a loni ho slavnostně uvedli do své Dvorany slávy. "Jeho smrt nás bolestně zasáhla. Všechny generace sparťanů si ho velmi vážily a klub se s ním chce důstojně rozloučit," řekl novinářům prezident Sparty Jozef Chovanec, který se o Kvašňákově úmrtí dozvěděl během utkání v Českých Budějovicích.